Question

初三上册 几何数学题

如图，已知等腰△ABC，∠B=120 P是底边AC的一个动点，M,N分别是AB、AC的中点若PM+PN的最小值是2，则△ABC的周长是？

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题．

专题：计算题

分析：本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

解答：解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，

∵M，N分别是AB，BC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AC，

∴PM′/ PN =KM′/ KM =1，

∴PM′=PN，

即：当PM+PN最小时P在AC的中点，

∴MN=1/ 2 AC

∴PM=PN=2，MN=2 根号3∴AC=4根号  3 ，

AB=BC=2PM=2PN=4，

∴△ABC的周长为：4+4+4根号  3 =8+4 根号 3 ．

故答案为：8+4根号 3 ． 

Answer 2

解：连接BP
因为PM+PN的最小值是2
所以PM=PN=1
P是AC的中点
AP=CP=1/2AC
因为M,N分别是AB,BC的中点
所以AM=1/2AB
CN=1/2BC
因为AB=BC
所以AM=CN
所以PM是三角形ABC的中位线
所以PM=1/2BC
所以BC=AB=2
所以BP是等腰三角形ABC的中线
所以BP是等腰三角形ABC的垂线和角平分线（等腰三角形三线合一）
所以角ABP=1/2角ABC
角APB=90度
因为角ABC=120度
所以角ABP=60度
因为角ABP+角A+角APB=180度
所以角A=30度
PB=1/2AB=1/2BC=1
由勾股定理得：AP=根号(AB^2-BP^2)=根号3
AC=2AP=2倍根号3
所以三角形ABC的周长=AB+AC+BC=2+2+2倍根号3=4+2倍根号3

Answer 3

p为ac中点 MP NP是中线，MP=NP=1/2AB 所以AB=BC=MP+NP=2
△BPA为直角三角形，∠A=30 所以BP=1/2AB=1 AP=√3
△ABC的周长=2+2+√3+√3=4+2√3

Answer 4

P为AC中点时有最小值
PM=PN=1
AM=BM=BN=CN=PM=PN=1
AP=PC=√3
△ABC的周长是4+2√3

Answer 5

作M关于AC的对称点M'，连接M'N与AC交与P点，此时有PM+PN的最小值是2。因为角MPA=角NPC,角BAC=角BCA，MA=NC，所以三角形MAP和三角形NCP全等,所以P为AC中点，MP=NP=1=1/2BC，所以BC=BA=2，连接AP，AP=1，BP=CP=根号三，所以周长为4+2倍根号三

Answer 6

p为ac中点 （2倍根号3）+4