Question

已知函数f(x)=[2sin(x=π/3)+sinx]cosx-√3sin²x，x∈R.

已知函数f(x)=[2sin(x=π/3)+sinx]cosx-√3sin²x，x∈R.若存在x∈[0,5π/12],使不等式f(x)＜m成立，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x)=[2sin(x+π/3)+sinx]cosx-√3sin²x
=[2sinxcosπ/3+2cos2xsinπ/3+sinx]cosx-√3sin²x
=2sinxcosx+√3(cos²x-sin²x)
=sin2x+√3cos2x
=2(1/2*sin2x+√3/2*cos2x)
=2sin(2x+π/3)
∵存在x∈[0,5π/12],使不等式f(x)＜m成立
∴需f(x)min<m
∵x∈[0,5π/12] ∴2x+π/3∈[π/3,7π/6]
∴2x+π/3=7π/6时，f(x)取得最小值-1
∴m>-1

追问

使不等式f(x)＜m成立是需要f(x)max<m

追答

f(x)＜m
f(x)总小于m，就需要f(x)的最大值<m

追问

所以你的回答“∵存在x∈[0,5π/12],使不等式f(x)＜m成立 ，∴需f(x)min<m”是错的

追答

刚才的解释是按恒成立解释的，不对，原来的是对的。本题不是恒成立是存在成立
“存在x∈[0,5π/12],使不等式f(x)＜m成立 ，需f(x)min<m”是所对的

“对任意x∈[0,5π/12],不等式f(x)＜m成立” 需f(x)min<m
只要f(x)的最小值小于m就能满足题意