Question

1<m<n,(1+n)的m次方<(1+m)的n次方

Answer 1

上大学了吗？会用导数吗？
先让两边取ln的对数变成 ln(1+n)^m<ln(1+m)^n
然后把后面的m和n分出来。变成mln(1+n)<nln(1+m)
第三部把m和n移项ln(1+n)/n<ln(1+m)/m
然后就构造个函数f(x)=ln(1+x)/x
只要证明这个函数是个单调递减的就可以了。
具体证明这个函数递减呢就是对f(x)求导，变成
f'(x)=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
可以x/(1+x)是小于1的，而ln(1+x)是大于1的，所以这个函数是恒小于零的。
问题得证。