Question

二元函数求极值（很简单）

条件：f(x,y)=(x^2)+8(y^2)-4(x^2)(y^2)
(x^2)+(4y^2)=4
求极值。

如果消去y用x做,
f(x,y)=x^4-5x^2+8
结果中有一个（0,正负1）

如果消去x用y做

f(x,y)=4-12y^2+16y^4
结果里有个（正负2,0）？但没有（0,正负1）

通常情况解这种题，不会x和y都代入一次吧。。。
所以我担心会漏解，但是又想不通为什么要分别代入，求解释。

是因为这是二元函数，所以对y来说的极值点不是x的极值点，x的极值点不是y的极值点，所以要分别代入？不过感觉这貌似也不算二元函数，明明可以直接化成一元的。要么算一个高次函数（如果是一阶的，好像就不存在这种问题）。x和y代入后的答案不同是因为高阶求导时后的正负号？不过感觉没有地方需要讨论。。。

btw，用拉格朗日求一般倒是不大会错。。。。

Answer 1

(x^2)+(4y^2)=4
可知y^2的范围是[0,1]
f(x,y)=4-12y^2+16y^4 所以它的最大值在y^2=1时取得，此时，对应的点为（0，正负1）
所以两种算法结果是一样的。
你弄错了y^2的范围了。

Answer 2

条件：f(x,y)=(x^2)+8(y^2)-4(x^2)(y^2) (1)
(x^2)+(4y^2)=4 (2)
求极值。
将(2)总体代入(1)：
f(x,y)=(x^2)+8(y^2)-4(x^2)(y^2)=x^2+4y^2+4y^2-4x^2y^2
=x^4-5x^2+8=x^4-2*2.5x^2+6.25+1.75
=(x^2-2.5)^2+7/4
可见只有极小值：7/4.
且：x^2=5/2
y^2=3/8