Question

如图：在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2，求BD的长。

Answer 1

解:延长BC到E,使CE=CA,连接AE,则:∠E=∠CAE=(1/2)∠ACB=22.5°;

∴∠BAD+∠DAC+∠CAE=90°,得∠CAB=∠B(等角的余角相等),AC=BC.

在AE上截取AF=AD,连接CF.

∵AF=AD;∠FAC=∠DAC;AC=AC.

∴⊿FAC≌⊿DAC(SAS),CF=CD=2;∠ACF=∠ACD=45°.

则CF垂直CD,连接DF,FD=√ (CD^2+CF^2)=2√ 2.

又∠B=90°-∠E=67.5°;∠AFD=∠FDC+∠E=67.5°.

∴∠B=∠AFD;又AD=AD;∠BAD=∠FAD=45度.

∴⊿BAD≌⊿FAD(AAS),BD=FD=2√ 2. 

Answer 2

可以算出∠B=∠ADB,所以△ABD为等腰三角形
作AE垂直于BD，则△AEC为等腰直角三角形，AD平分∠EAD
利用角平分线的性质AE:AC=ED:DC=1：√2
所以ED=√2, BD=2√2