Question

已知函数f（x）=2的x次方

试求函数F（x）=f（x）+af(2x)，x∈（-无穷，0】的最大值

Answer 1

F(x)=2^x+a*2^(2x)=2^x+a*(2^x)^2, 令2^x=t ，
所以 F(x)=G(t)=a*t^2+t =a(x+1/(2a))^2-1/(4a), 顶点在(-1/(2a),-1/(4a)),
因为x<=0,所以 0<t<=1,
当a>0时，开口向上且对称轴t=-1/(2a)在y轴左边，所以G(t)在(0,1]上单调递增
最大值=G(1)=a+1
当a=0时，G(t)=t, 在(0,1]上单调递增，最大值=G(1)=1
当a<0时,开口向下，对称轴在y轴右边
当-1/(2a)<=1时，对称轴在区间(0,1]内，
最大值=G(-1/(2a))= -1/(4a)
当-1/(2a)>1时，对称轴在区间(0,1]的右边，所以函数在(0,1]上单调递增
最大值=G(1)=a+1

Answer 2

即F(x)=2^x+a2^2x
因为2^2x的上升速率快，所以整个函数是取决于2^2x
当a<0,F（x）为减函数，所以最大值不存在
当a>=0,F(x)为增函数，所以最大值就是F（0）=1+a

Answer 3

1+a