Question

如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分的面积是________。

Answer 1

找到合适的工具作图后传上来。现在只能文字描述，真正画草图做题的人很容易明白。
把六边形分割为24个小正三角形，每个面积为1。这些小正三角会组成一些平行四边形和大的正三角形。它们的面积可以数小正三角形的个数，相加得出。
上面这些分割线会分割原来的阴影三角形。把右下以D为顶点的一个不规则小三角形，按照对角关系挖补到以A为顶点的不规则大三角形，正好是一个以A为顶点的平行四边形的一半，这个平行四边形含6个小正三角形，面积为6，则这一部分阴影面积为3。

余下的阴影，正好是一个由4个小正三角形组成的大正三角形的一半，面积为2。
所以阴影部分面积=3+2=5

另外这一题是奥数题，像上面那样分割出24个小正三角形后，可以用关于“格点图形”面积的毕克定理做。

Answer 2

用个笨办法
已知面积S，边长a^2=S*2/(3sqrt(3)) =16/sqrt(3)
AC=sqrt(3)/2 * a
BC = 3/2 * a
BD=a/2
D到底边垂线长=BD*sin60 = sqrt(3)a/4
阴影面积=五边形面积-三个三角形面积
=sqrt(3)/4 a^2 +7sqrt(3)/16 * a^2 - sqrt(3)/4 a^2 - sqrt(3)/4 * a^2
= 3sqrt(3)/16 a^2
= 3

Answer 3

找到合适的工具作图后传上来。现在只能文字描述，真正画草图做题的人很容易明白。
把六边形分割为24个小正三角形，每个面积为1。这些小正三角会组成一些平行四边形和大的正三角形。它们的面积可以数小正三角形的个数，相加得出。
上面这些分割线会分割原来的阴影三角形。把右下以D为顶点的一个不规则小三角形，按照对角关系挖补到以A为顶点的不规则大三角形，正好是一个以A为顶点的平行四边形的一半，这个平行四边形含6个小正三角形，面积为6，则这一部分阴影面积为3。
余下的阴影，正好是一个由4个小正三角形组成的大正三角形的一半，面积为2。
所以阴影部分面积=3+2=5