Question

设函数f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,minf(x)=—1 x∈[0.1]. 证明maxf''(x)大于等于8

Answer 1

记0<c<1使得f(c)＝min f(x)＝－1，将f(0)和f(1)在x＝c用Taylor展式得
存在c1，c2使得（注意f'(c)＝0，这是极值点）
f(0)＝f(c)+f'(c)(0－c)+f''(c1)/2*c^2＝－1+f''(c1)/2*c^2；
f(1)＝f(c)+f'(c)(1－c)+f''(c2)/2*(1－c)^2＝－1+f''(c2)/2*(1－c)^2
分情况讨论：
若0<c<＝1/2，用第一式得
f''(c1)＝2/c^2>=8；
若1/2<c<1，用第二式得
f''(c2)＝2/(1－c)^2>=8。