Question

对于斐波那契数列(f1=1,f2=1,f3=2)，求证：(fn+1)^2+(fn)^2=f2n+1

Answer 1

证明：假设对任意正整数m,n>=2有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1)；
1、当m=2时显然有f(n+2)=f(n)+f(n+1)=2f(n)+f(n-1)=f(3)f(n)+f(2)f(n-1)成立，同理也可知f(m+2)=f(2)f(m+1)+f(1)f(m)。故当 m或者n=2时有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1);
2、假设当m=k时上式成立，那么f(k+1+n)=f(k+n)+f(k+n-1)=f(k+1)f(n)+f(k)f(n-1)+f(k+1)f(n-1)+f(k)f(n-2)=f(k+2)f(n)+f(k+1)f(n-1)。故得证当m=k+1时上式也成立；
同理当n=k假设上式成立可求出n=k+1时上式也成立！
终上所述：当正整数m,n>=2时有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1);
当m=n-1时，可得
（fn+1)^2+(fn)^2=f2n+1