Question

用数学归纳法证明斐波那契数 （F1）^2+（F2）^2+（F3）^2······+（Fn)^2=Fn*Fn+1

已知斐波那契数 F1=1 F2=1 F3=2 ······ 用数学归纳法证明斐波那契数 （F1）^2+（F2）^2+（F3）^2······+（Fn)^2=Fn*Fn+1 急求！！！

Answer 1

证明：n=1时，F1=1，F2=1，F1^2=F1*F2 等式成立
n=2时，F2=1，F3=2，F1^2+F2^2=F2*F3=2 等式成立
...
假设n=k时，（F1）^2+（F2）^2+（F3）^2······+（Fk)^2=Fk*Fk+1成立
那么当n=k+1时，（F1）^2+（F2）^2+（F3）^2······+（Fk)^2+（Fk+1）^2
=Fk*Fk+1+（Fk+1）^2
=Fk+1*（Fk+Fk+1）
因为斐波那契数列，Fk=Fk-1+Fk-2（一个数等于前两个数的和）
因此原式=Fk+1*Fk+2，即n=k+1时等式也成立，因此等式得证