Question

高二数学 关于向量

已知A.B为抛物线x2=2py(p＞0)上两点，直线AB过焦点F，A,B在准线上的射影分别为C,D，则存在实数 λ 使得向量AD= λ 向量AO

怎么证明的？谢谢！

Answer 1

已知A.B为抛物线x²=2py(p＞0)上两点，直线AB过焦点F，A,B在准线上的射影分别为C,D，则存在实数 λ 使得向量AD= λ 向量AO ，试予以证明。
证明：焦点F(0，p/2)；准线：y=-p/2.
这是要证明A、O、D三点共线。
设过焦点的直线方程为y=kx+p/2；代入抛物线方程得x²-2p(kx+p/2)=x²-2kpx-p²=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂ )；则x₁+x₂=2kp；x₁x₂=-p²；(设x₁>0>x₂)；故x₂=-p²/x₁；
已知O(0，0)，D(x₂，-p/2)；
于是AO所在直线的斜率KOA=y₁/x₁=(x²₁/2p)/x₁=x₁/2p；
OD所在直线的斜率KOD=-(P/2)/x₂=-P/2x₂=-P/(-2P²/x₁)=x₁/2P；
∴KOA=KOD，且OA与OD有一个公共点O，故A、O、D三点在一条直线上，故存在实数λ，使
得等式AD=λAO成立。故证。