Question

求y=x/(1+x^2)的单调增区间 详细过程

Answer 1

令y=f(x)=x/(1+x^2)
则f(-x)=-x/(1+x^2)=-f(x)
也就是说f(x)是奇函数的。关于原点对称。
当x在区间(0,无穷大）时。
f(x)=1/(1/x+x)
1/x+x>=2 当且仅当x=1时取得等号。且为最小值。
从而当x=1时f(x)取得最大值。
所以在[0,1]上是增的。
根据对称性知在[-1,0]上是增的。
综上所述为在[-1,1]上y是单调增的。

Answer 2

用定义求单调增区间：
对任意的x1<x2
y1-y2=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[(x1+x1x2^2)-(x2+x2x1^2)][1+x1^2][1+x2^2]
=[(x1-x2)-x1x2(x1-x2)][1+x1^2][1+x2^2]
=[(x1-x2)(1-x1x2)][1+x1^2][1+x2^2]
因为
x1<x2
1)当|x|≤1时，|x1x2|<1==>1=x1x2>0
y1<y2
函数f(x)单调增，反之单调减，
所以f(x)的单调增区间为
【-1，1】