Question

已知函数fx是定义在【-1,1】上的奇函数,若a，b∈[-1,1]且a+b≠ 0时，有fa+fb/a+b>0 1.

1.证明fx在【-1,1】为增函数
2.解不等式f3x^2+f-1-2x>0

Answer 1

∵a，b∈[-1,1]且a+b≠ 0时
总有 f(a)+f(b)/(a+b)>0
∴设-1≤x1<x2≤1∴ x1-x2<0
∴[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0
∵x1-x2<0
∴f(x1)+f(-x2)<0
∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x2)=f(-x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在【-1,1】为增函数
(2)
f(3x^2)+f(-1-2x)>0
即f(3x^2)>-f(-1-2x)=f(1+2x)
∵f(x)是【-1,1】的增函数
∴3x^2>1+2x
即3x^2-2x-1>0
解得：x<-1/3或x>1
又 3x^2≤1且1+2x≥-1
∴ -√3/3≤x≤√3/3
取交集得
∴-√3/3≤x<-1/3
∴f(3x^2)+f(-1-2x)>0的解集
为[-√3/3,-1/3)

Answer 2

（1）∵a，b∈[-1,1]且a+b≠ 0时
总有 f(a)+f(b)/(a+b)>0
∵x1-x2<0
∴f(x1)+f(-x2)<0
∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x2)=f(-x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在【-1,1】为增函数
(2)
f(3x^2)+f(-1-2x)>0
即f(3x^2)>-f(-1-2x)=f(1+2x)
∵f(x)是【-1,1】的增函数
∴3x^2>1+2x
即3x^2-2x-1>0
解得：x<-1/3或x>1
又 3x^2≤1且1+2x≥-1
∴ -√3/3≤x≤√3/3
取交集得
∴-√3/3≤x<-1/3
∴f(3x^2)+f(-1-2x)>0的解集
为[-√3/3,-1/3)