Question

如图,Rt三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,AD平分角BAC交BC于D,CE垂直AD于F,交AB于E。(

如图,Rt三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,AD平分角BAC交BC于D,CE垂直AD于F,交AB于E。(1)求角BCE的度数;(2)求证:CD=BE;(用3种方法);(3)求(AD-CE)/DF的值

Answer 1

1、∵CE⊥AD即∠AFC=∠CFD=90°
∠ACB=90°
∴∠CAD=∠DCF=∠BCE(同为∠ACF的余角）
∵AD平分∠BAC
∴∠ACD=∠BAD=1/2∠BAC
∵∠AC=AC，∠ACB=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠BCE=1/2∠BAC=22.5°
2、(1)连接DE
∵∠CAD=∠BAD
AE⊥AD
∴∠CFA=∠EFA=90°
∵AF=AF
∴△ACF≌△AEF
∴AC=AE
∵AD=AD
∠CAD=∠BAD
∴△ACD≌△ADE
∴∠ACD=∠AEF=90°
CD=DE
∵∠AEF=∠DEB=90°
∠DBE=∠ABC=45°
∴△BDE是等腰直角三角形
∴BE=DE=CD
即BE=CD
(2)做BM⊥BC,交CE的延长线于M
∵∠BCE=∠CAD
AC=BC
∠ACD=∠CBM=90°
∴Rt△ACD≌Rt△BCM
∴CD=BM
∠CDA=∠CMB
∵∠BCE=∠CAD=∠BAD
∠CFD=∠AFE=90°
∴∠CDA=∠AEF(在△AEF和△CDF中，有两个角相等，第三个角也相等）
∵∠BEM=∠AEF=∠CDA
∴∠BME=∠CMB=∠BEM
∴BE=BM=CD
3、做BM⊥BC,交CE的延长线于M
由前面（2）
得△ACD≌△BCM
∴AD=AM=CE+EM
即AD-CE=EM
CD=BM=BE( 前面证明了BM=BE)
做BN⊥EM
∴EN=MN=1/2EM
∵∠ADC=∠CMB(前面证明了）
即∠FDC=∠BMN
在Rt△CDF和Rt△BMN中
∠FDC=∠BMN
BM=CD
∴Rt△CDF≌Rt△BMN
∴MN=DF=1/2EM=1/2(AD-CE)
∴(AD-CE)/DF=2