Question

已知函数f(x)=|x²-1|+a|x-1|

已知函数f(x)=|x²-1|+a|x-1|
（1）若函数f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围
（2）当a≥-3时，求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值

Answer 1

解：(1)|x^2-1|+a|x-1|=0, x^2=1且x=1, x=1,
只要a不=0，唯一的零点为X=1
(2)当-2<=x<-1时，f(x)=x^2-1+a(1-x)=x^2-ax+a-1，对称轴为x=a/2>=-3/2,
所以最大值=f(-2)=(-2)^2-a(-2)+a-1=3a+3
当-1<=x<1时，f(x)=1-x^2+a(1-x)=-x^2-ax+a+1,对称轴为x=-a/2<=3/2
所以最大值=f(1)=-1-a+a+1=0
当1<x<=2时，f(x)=x^2-1+a(x-1)=x^2+ax-a-1,对称轴为x=-a/2<=3/2
所以最大值=f(2)=4+2a-a-1=a+3

Answer 2

解：（1）f(x)=|x²-1|+a|x-1|=|x-1|（|x+1|+a)
显然f(1)=0 故f(x)必有一个零点x=1.
若函数f(x)只有一个零点,则||x+1|+a>0恒成立，则a>0
(2)分类讨论：将x分成三段[-2,-1]、[-1,1]、[1,2]去掉绝对值后再，对a进行讨论（过程较为繁琐一些，要耐心点做才行，留给你自己做吧）