Question

平面向量的数量积及应用。

已知a=（sinθ，1），b=（1，cosθ），c=（0，3），-π/2＜θ＜π/2
①若（4a-c）//b，求θ。
②求Ⅰa+bⅠ的取值范围。

Answer 1

（1）4a-c=（4sinθ，1），b=（1，cosθ），
因为 (4a-c)//b ，所以 4sinθcosθ=1 ，
即 sin2θ=1/2 ，
由于 -π/2<θ<π/2 ，因此 -π<2θ<π ，
故 2θ=π/6 或 2θ=5π/6 ，
即 θ=π/12 或 5π/12 。

（2）由于 a^2=1+(sinθ)^2，b^2=1+(cosθ)^2 ，a*b=sinθ+cosθ ，
所以，|a+b|^2=a^2+b^2+2a*b=2+2(sinθ+cosθ)=2+2√2*sin(θ+π/4) ，
由于 -π/4<θ+π/4<3π/4 ，因此 -√2/2<sin(θ+π/4)<=1 ，
所以 0<(a+b)^2<=2+2√2 ，
因此，|a+b| 的取值范围是 （0，√(2+2√2) ] 。

Answer 2

(1) 4a-c=(4sinθ，4)-(0，3)=(4sinθ，1)
∵ （4a-c）//b，∴ 4sinθcosθ-1=0，
sin2θ=1/2
∵ -π/2＜θ＜π/2，∴ -π＜2θ＜π
∴ 2θ=π/6，或 2θ=5π/6
所以 θ=π/12 或 θ=5π/12
(2) |a+b|^2=(sinθ+1)^2+(cosθ+1)^2=2(sinθ+cosθ)+3
=2√2sin(θ+π/4)+3
∵ -π/2＜θ＜π/2 ∴ -π/4＜θ+π/4＜3π/4
所以 1＜2√2sin(θ+π/4)+3≤2√2+3
即 1＜|a+b|^2≤2√2+3
所以 1＜|a+b|≤√2+1
所以 |a+b|的取值范围是(1，√2+1 ]

Answer 3

4a-c=（4sinθ,1）向量（a，b）平行于向量（c，d），等价于：a * d = b * c
因为（4a-c）//b即 4sinθ*cosθ=1
sinθ*cosθ=1/4=0.25 θ=15°