Question

已知二次函数f（x）=ax²+4ax+a²-1在-4≤x≤1上的最大值为5，求此函数在-4≤x≤1上的最小值.

已知二次函数f（x）=ax²+4ax+a²-1在-4≤x≤1上的最大值为5，求此函数在-4≤x≤1上的最小值.

Answer 1

f（x）=ax²+4ax+a²-1
=a(x²+4x+4)-4a+a²-1
=a(x+2)^2+(a-2)^2-5
若a=0,则f（x）=-1,不可能有最大值5.所以a不等于0。
所以，f(x)为一元二次函数，且他的对称轴为x=-2，x=-2在-4≤x≤1范围内，则
根据一元二次函数单调性可知：
1）当a>0时，f(1)为它的最大值,f(-2)为其最小值，代入函数可得
5=f(1)=5a+a^2-1................(1)
f(-2)=a^2-4a-1.................(2)
解(1)式可得，a=-6(舍去),a=1
将a=1，代入(2)式可得，f(-2)=-4
所以，a>0时，f(x)在-4≤x≤1上的最小值为-4
2）当a<0时，f(-2)为它的最大值,f(1)为其最小值，代入函数可得
5=f(-2)=a^2-4a-1................(1)
f(1)=a^2+5a-1....................(2)
解(1)式可得a，取a<0的解，代入(2)式可得f(x)最小值。（根号不好写）

Answer 2

f'(x)=2ax + 6a
令f'(x)=0 则，x=-3
当a>0、函数开口向上 ，则x=-3为极小值点，
f(-4)=a²-1, f(1)=a²+5a-1
所以f(1)=5 所以a²+5a-1=5 得a=1, a=-6(舍去)
则当a=1,x=-3时，f(x)在该区间最小，最小值为-6
当a<0,函数开口朝下， 则x=-3为极大值点，
所以f(-3)=5 即a²-3a-1=5 得a1=（3+根号下33)/2 (舍去)，a2=(3-根号下33)/2
所以把a2带入f(x),,再求出f(-4). f(1)比较下大小，，得出最小值
因为是2次函数，所以a不等于0.。
所以分a>0和a<0两种情况，

Answer 3

对称轴为X=-2，-4≤x≤1包含对称轴，所以开口向下，a<0,把X=-2代入函数值为最大5，解得a，然后代入1可解最小值

Answer 4

由题得知：二次函数的对称轴为x=-2
当a>0时，1-(-2)>-2-(-4),所以f（1）=2a²+4a-1=5,a=1(-3略)
此时函数在-4≤x≤1上的最小值为f(-2)=-4
当a<0时，1-(-2)>-2-(-4),所以f（-4）=17a²-16a-1=5,