Question

初三数学题！如图所示,在正方形abcd中,P是对角线AB上的任意一点

如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线AB上的任意一点，过P作EF和GH分别平行于BC和AB，交各边于E、F、G、H，求证：E、F、G、H四点在同一圆上。
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Answer 1

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

此处用第一个

即需证角度HGE=角度EFH
等价于证△PGE全等△PFH
因为P在对角线上，所以角度PCG=45,PCG等腰直角
PG=GC
而FC=PG
角度PCF=45，PCF等腰直角

FC=FP
FP=GP
同理PH=PE
角度GPE=角度FPH=90
所以边角边，△PGE全等△PFH
所以角度HGE=角度EFH
所以
E、F、G、H四点共圆

Answer 2

其实也可以画出来，以OE/OH/OD/OF/OG/OB里面其中任意一条线段为半径画圆，，，，

Answer 3

证明：
连接HE,EG,GF,FH
△HAE和△FCG是等腰直角三角形
∠HFG=180°-∠HFD-45°
∠HEG=180°-∠GEB-45°
又因为△HDF≌△EBG
所以∠HEG+∠HFG=180
所以四点共圆

Answer 4

解析，
P在对角线AC，
故P到CD与到BC的距离相等，EF∥BC，GH∥CD
即是，PF=PG,PH=PE
∠HPE=∠FPG=90°。
因此，∠PHE=∠PFG=45°，
根据四点共圆的性质，
E，F，G，HS四点共圆。