Question

已知f(x)=x^3-3x^2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间

已知f(x)=x^3-3x^2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间(2)若函数y=f(x)的图像与抛物线y=f(x)的图像与抛物线y=(3/2)x^2-15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围~
求具体过程~

Answer 1

f‘(x)=3x²-6x+a
∵在x=-1处的切线与x轴平行
∴f‘(﹣1)=0
即3+6+a=0
a=﹣9
∴f‘(x)=3x²-6x-9
=3﹙x²-2x-3)
=3(x-3)(x+1)
令f‘(x)==3(x-3)(x+1)＞0
则x＞3或x＜﹣1
∴函数f(x)的单调递增区间是﹙﹣∞，﹣1],[3，﹢∞]
函数f(x)的单调递减区间是[﹣1，3]
令g(x)=x^3-3x^2-9x+b-(3/2)x^2+15x-3=x^3-9x²／2+6x+b-3
g'(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
∴函数g(x)的单调递增区间是﹙﹣∞，1],[2，﹢∞]
函数f(x)的单调递减区间是[1，2]
∴g(x)的极大、极小值分别是f（1）、f（2）
根据题意：g（1）＞0，g（2）＜0
即1-9/2+6+b-3＞0
8-18+12+b-3＜0
∴½＜b＜1

Answer 2

解：（1）求导即可
（2）同（1）
（3）转化为函数的零点即可（或与x轴的交点）

追问

可不可以具体一点。。。

追答

解：（1）f'(x)=3x^2-6x+a 因为x=-1处的切线与x轴平行
则f'(-1)=0即3+6+a=0 故a=-9
则f'(x)=3x^2-6x-9=3（x-3)(x+1)
当x>3或x0 增
当-1<x<3时，f'(x)<0 减
（2）令g(x)=x^3-3x^2-9x+b-(3/2)x^2+15x-3=x^3-9/2x^2+6x+b-3
若函数y=f(x)的图像与抛物线y=f(x)的图像与抛物线y=(3/2)x^2-15x+3恰有三个不同交点
只需g(x1)*g(x2)<0即可（x1、x2为g(x)的极值点）（剩下自己算吧）