Question

f(x)=2^(x+1)定义在R上，（1）若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t

p(t)=g(2x)+2mh(x)+m^2-m-1(m属于R），求出p(t)的解析式。（2）若p(t)>=m^2-m-1对于x属于[1,2]恒成立，求m的取值范围。
要过程。
各位大神给力呀。。。

Answer 1

g(x)+h(x)=f(x)
g(-x)+h(-x)=f(-x)
奇偶性
g(x)-h(x)=f(-x)
求出 g(x)和h(x)
g(x)=2^x+2^(-x)
h(x)=2^x-2^(-x)
p(t)解析式求出
（2） 就是 g(2x)+2mh(x)>=0 在【1,2】上恒成立
两次换元法 t=2^x
y=t-t^(-1)
变成二次函数问题
自己解

Answer 2

很简单
f(x)=2^(x+1)=2*2^x，要表示成两个函数之和，一奇一偶，很容易联想到两式相加得到2倍的2^x，
直接得出f(x)= (2^x+2^-x) + (2^x-2^-x),
所以g(x)=2^x+2^-x, h(x)=2^x-2^-x,
容易验证g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x),即g(x)为偶函数，h(x)为奇函数.
t=h(x)=2^x-2^-x,所以t²=(2^x)² + (2^-x)² -2,
p(t)=g(2x)+2mh(x)+m^2-m-1=2^2x + 2^-2x + 2mt + m²-m-1
= (2^x)² + (2^-x)² +2mt + m²-m-1
=t²+2+2mt + m²-m-1
=t²+2mt + m²-m+1,

p(t)≥m²-m-1对x∈[1,2]恒成立，
就是t²+2mt + m²-m+1≥m²-m-1整理得t²+2mt +2≥0对x∈[1,2]恒成立，
由于二次函数K(t)=t²+2mt +2开口向上，对称轴t=-m,与纵坐标交点2大于0，可知对称轴一定在[1,2]之外，
所以当-m≤1时K(1)≥0，即m≥-1.
当-m≥2时要求K(2)≥0,可知这时的m不存在,
综合两种情况可得
m≥-1