Question

定义在R上的任意一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,已知f（x）=lg（10^x+1）

求g(x)和h（x）的解析式。
要详细的过程。

Answer 1

数学之美团为你解答
根据题意：f(x)=g(x)+h(x)=lg(10^x+1) (1)
而g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
因为：f(x)=lg(10^x+1)，所以f(-x)=-g(x)+h(x)=lg(10^(-x)+1) =lg((10^x+1)/10^x)=lg(10^x+1)-x (2)
(1)-(2)得：2g(x)=x，即：g(x)=x/2
(1)+(2)得：2h(x)=2lg(10^x+1)-x，即：h(x)=lg(10^x+1)-x/2

Answer 2

令f(x)=g(x)+h(x), g(x)为奇函数，h(x)为偶函数
则有f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
两式相加再除以2得：h(x)=[f(x)+f(-x)]/2=[lg(10^x+1)+lg(10^(-x)+1)]/2=0.5lg(2+10^x+1/10^x)
两式相减再除以2得：g(x)=[f(x)-f(-x)]/2=[lg(10^x+1)-lg(10^(-x)+1)]/2=0.5lg[(10^x+1)/(10^(-x)+1)]=0.5lg10^x=0.5x

Answer 3

g(x)=(f（x）-f（-x）)/2 ,h(x)=(f（x）+f（-x）)/2,这个曾经是95年的全国卷高考题！