Question

已知函数f(x)=(e^x -a)^2;+(e^-x -a)^2; (a≥0)将f(x)表示为u=(e^x +e^-x)÷2的函数g(u)

并求出函数g(x)的最小值

Answer 1

解：u=(e^x +e^-x)÷2，
得：4*(u^2)-2=(e^x)^2+(e^-X)^2
所以，f(x)=(e^x)^2-2*a*(e^x)+a^2+(e^-x)^2-2*a*(e^-x)+(a^2)
=(e^x)^2+(e^-X)^2 -2*a*[(e^x)+(e^-x)] +2*(a^2)
代入u，则：
g（u）=4*(u^2)-2 -2*a*(2*u) +2*(a^2)
=4*(u^2)-4*a*u+2*(a^2)-2
利用二次函数的公式，求g（x）的最小值。
因为二次项的系数为4，大于0，有极小值。
当 x=a/2时，g(x)的最小值a^2-2

Answer 2

u^2=(e^x +e^-x)^2÷4
=(e^2x+e^-2x+2)÷4
=(e^2x+e^-2x)/4+1/2

f(x)=(e^x -a)^2+(e^-x -a)^2
=e^2x-2ae^x+a^2+e^-2x-2ae^-x+a^2
=e^2x+e^-2x-2a(e^x+e^-x)+2a^2
=4*(u^2-1/2)-2a*2u+2a^2
=4u^2-4au+2a^2-2
=g(u)

g(u)=4u^2-4au+a^2+a^2-2
=(2u-a)^2+a^2-2
所以最小值为a^2-2

Answer 3

f﹙x﹚＝e^2x－2ae^x＋a²＋e^﹣2x－2ae∧﹣x＋a²＝﹙e^x＋e^－x﹚²－2﹙e^x＋e^﹣x﹚a＋2a²－2＝4u²－4au＋2a²－2＝g﹙u﹚
g﹙u﹚＝﹙2u－a﹚²＋a²－2 当u＝a/2时取最小值a²－2

Answer 4

g(u)=4u^2-4au+2a^2-2
最小值
a^2-2