Question

已知R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数且当a属于(0,π/2)时

已知：R上的函数y=f(x)既是奇函数，又是减函数且当a属于(0,π/2)时，有f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

根据题意，必有f(0)=0
那么，若f(x)在R上是减函数，则当x>0时,f(x)<0；x<0时,f(x)>0
a属于(0,π/2)时,cosa和sina都大于0且小于等于1

f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0
→f(cos²a+2msina)> -f（-2m-2）=f(2m+2)
→由单调性知cos²a+2msina<2m+2
→sin²a -2msina+1+2m >0
→ 2m >(1+sin²a)/(sina-1) = (sina-1) +2 + 2/(sina-1)
而 (sina-1) + 2/(sina-1) ≤ -2√[(sina-1) · 2/(sina-1)] = -2√2
取等时，(sina-1) = 2/(sina-1) → sina=1-√2<0，这说明此时a 不在题目要求的范围之内。
当sina→0时 (sina-1) +2 + 2/(sina-1)→ -1；
当sina→1时 (sina-1) +2 + 2/(sina-1)→ -∞
因此若f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立，则必有
2m ≥ -1
m ≥ -1/2

Answer 2

R上的函数y=f(x)是奇函数，由f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0得
f(cos²a+2msina）>-f（-2m-2）=f(2m+2),
f(x)↓，
∴（cosa)^2+2msina<2m+2,
(cosa)^2-2<2m(1-sina),a∈(0,π/2)
∴m>[(cosa)^2-2]/[2(1-sina)]
=(1/2)[2+(sina-1)+2/(sina-1)],
设t=sina-1,则t∈（-1,0），g(t)=t+2/t,
g'(t)=1-2/t^2<0,g(t)↓，
∴g(t)<g(-1)=-3,
∴m>=-1/2,为所求。

Answer 3

f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0
f(cos²a+2msina)>- f（-2m-2）
因为f(x)是奇函数，所以- f（-2m-2)= f [-(-2m-2)]= f(2m+2)上式为
f(cos²a+2msina)> f（2m+2）
又因为f(x)是减函数，所以

cos²a+2msina< 2m+2
cos²a-2< 2m-2msina=2m(1-sina)
2m>(cos^2(a)-2)/(1-sina)=[1-sin^2(a)-2]/(1-sina)
=[(1+sina)(1-sina)-2]/(1-sina)=(1+sina)-2/(1-sina)
= - [-1-sina+2/(1-sina)]= - [(1-sina)+2/(1-sina )-2]
令t=1-sina 则 0<t<1
2m>-[t+(2/t) - 2]
(-2m)<t+(2/t) - 2=g(t)
g '(t)=1-2/t^2,因为t∈(0,1),所以g '(t)<0,g(t)在(0,1)上单调减，
g(t)下界为g(1)=1
(-2m)<t+(2/t) - 2=g(t)恒小就 是比它的最小值还要小，也就是
（-2m)≤1==>m≥-1/2