Question

急！！！数列题目求解答过程，谢谢！

已知数列｛an｝中，a1=1,an=2n/n-1 ·a +n （n≥2，n∈正整数） n-1且bn=an/n+ん为等比数列。（1）求实数ん及数列｛bn｝的通项公式（2）求数列｛an｝的前n项和。

急求解答过程，谢谢！！！

Answer 1

原题复述遍，免得你看不懂我的符号。an=2n/(n-1)*a(n-1) +n,bn=an/n+λ
^n代表n此方
（1）因为bn是等比数列，则b(n+1)/bn是常数
因为an/n=2*a(n-1)/(n-1)+1，设cn=an/n，则cn=2c(n-1)+1
则，cn+1=2(c(n-1)+1),则，cn+1是等比数列,，即，an/n+1是等比数列。
所以λ=1，b1=a1+1=2,q=2,bn=2*2^(n-1)=2^n
（2）因为bn=2^n=(an/n+1)
所以，an=n*2^n-n
设dn=n*2^n,则∑an=∑dn-∑n=∑dn-n(n+1)/2
∑dn=1*2^1 +2*2^2+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n ①
2*∑dn=1*2^2+2*2^3+……+(n-1)*2^n +n*2^(n+1)②
①-②=-∑dn
=1*2^1+1*2^2+……+1*2^n - n*2^(n+1)
=2^(n+1)-2 - n*2^(n+1)
则∑dn=(n-1)2^(n+1)+2
则an前n项和∑an=(n-1)2^(n+1)+2-n(n+1)/2

Answer 2

第1问：
an=2n*a(n-1)/(n-1)+n
两边同除以n，再加1
an/n+1=2a(n-1)/(n-1)+2=2[a(n-1)/(n-1)+1]
设数列｛cn｝，令cn=an/n+1
则cn=2c(n-1)，c1=a1/1+1=2
所以数列｛cn｝是首项为2、公比为2的等比数列
则cn=c1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
则an/n+1=2^n
an=n*(2^n-1)
bn=an/n+ん=2^n-1+ん
则b(n+1)=2^(n+1)-1+ん
又b(n+1)=q*bn
则2^(n+1)-1+ん=q*(2^n-1+ん)
=(q/2)*2^(n+1)-q+q*ん
所以q/2=1且-1+ん=-q+q*ん
得q=2，ん=1
则bn=2^n-1+ん=2^n

第2问：
设Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+n*2^(n+1)
Tn-2Tn
=1*2^1+(2-1)*2^2+(3-2)*2^3+……+[n-(n-1)]*2^n-n*2^(n+1)
=2^1+2^2+2^3+……+2^n-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
所以Tn=(n-1)*2^(n+1)-2

则数列｛an｝的前n项和Sn=a1+a2+a3+……+an
=1*(2^1-1)+2*(2^2-1)+3*(2^3-1)+……+n*(2^n-1)
=1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n-(1+2+3+……+n)
=(n-1)*2^(n+1)-2-(n+1)n/2