Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0）

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A．

（1）求c的值；
（2）若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；
（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．
急求大家的解答

Answer 1

(1)将A(0,3)代入y=ax²+bx+c，得c=3.
(2)若a=-1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，
则D、E分别在线段AB、BC上，或分别在AB、OC上，
若D、E分别在线段AB、BC上，
在y=-x²+bx+3中，令y=3，得x²-bx=0，解得x=0或x=b，故D(b,3)，
令x=6，得y=6b-33，故E(6,6b-33)，因为0≤6b-33<3，所以11/2≤b<6，
|AD|=b，|EB|=3-(6b-33)=36-6b，
△ADE的面积S=1/2*|AD|*|BE|=1/2*b*(36-b)=-3b²+18b=-3(b-3)²+27，
故当b=11/2时，S有最大值33/4。
显然，此时E(6,3)与C重合。
(3)当M、N应分别在AB、OC上时，设M(-b/a,3)，N(x’,0)，则向量MN=(x’+b/a,-3)，
因为点F在线段BC上，BF=1，所以CF=3-1=2，(6,2)，向量OF=(6,2),
因OF⊥MN，所以6(x‘+b/a)-6=0，得ax’+b-a=0①，
又线段MN的中点((-b/a+x‘)/2,3/2)在直线OF：y=1/3x上，
所以3/2=(-b/a+x’)/6，即ax‘-b-9a=0②，
①-②，得b=-4a，
①+②，得x'=5
将N(5,0)代入抛物线方程y=ax²-4ax+3中，得a=-3/5,
故抛物线方程为y=(-3/5)x²+(12/5)x+3。
同理，当M、N应分别在AB、BC上时，可求得抛物线方程为y=(-1/2)x²+(21/8)x+3。