Question

三角恒等变换问题：化简 ：tan70°cos10°(√3 tan20 °-1) 求过程，注：√3 是 根号3

过程不要太简便

Answer 1

解：原式＝tan70ºcos10º(√3sin20º／cos20º－1)
＝tan70ºcos10º(√3sin20º－cos20º)／cos20º
＝tan70ºcos10º•2(√3／2sin20º－1／2cos20º)／cos20º
＝tan70ºcos10º•2sin(20º－30º)／cos20º
＝tan70ºcos10º(－2)sin10º／cos20º
＝－tan70º•sin20º／cos20º
＝－tan70º•tan20º
＝－tan70º•cot70º
＝－1
注解：（1）用了tanα＝sinα／cosα (2)用了辅助角公式asinα＋bcosα＝√a²＋b²sin(α＋ψ)
这里tanψ＝b／a （3）用了sin2α＝2sinαcosα (4) 用了tanα cotα ＝1

Answer 2

tan70°*cos10°*(√3 *tan20° -1)
=tan70°*cos10°*(tan60 °*tan20° -1)
=tan70°*cos10°*[(sin60 °*sin20°/cos60°*cos20°)-1]
=tan70°*cos10°*(sin60 °*sin20°-cos60°*cos20°)/(cos60 °*cos20°)
=tan70°*cos10°*[-cos(60°+20°)]/(cos60 °*cos20°)
=-tan70°*cos10°*cos80°/(cos60 °*cos20°)
=-tan70°*cos10°*sin10°/(cos60 °*cos20°)
=-(sin70°/cos70°)*(1/2)*sin20°/(cos60 °*cos20°)
=-(cos20°/sin20°)*sin20°/(2cos60 °*cos20°)
=-1/(2cos60 °)
=-1
tan70°cos10°（√3 tan20°-1）
=2cot20°cos10°[√3 (sin20°/ cos20° )-1]
=2cot20°cos10°（√3/2 sin20°-1/2 cos20°）(1 /cos20°)
=2(cos20°/sin20°) cos10°（sin20°cos30°-cos20°sin30°）(1/ cos20°)
=-2sin10°cos10° /sin20°
=-1

追问

tan70°=2cos20° 有什么方法可以看不得出？

追答

tan70°=cot20°
√3 tan20=2×（√3/2×sin20°/cos20°)
∴tan70°cos10°（√3 tan20°-1）
=cot20°cos10°×2×[（√3/2×sin20°/cos20°)-1/2]
=2cot20°cos10°[√3/2 (sin20°/ cos20° )-1/2]
=2cot20°cos10°（√3/2 sin20°-1/2 cos20°）(1 /cos20°)
=2(cos20°/sin20°) cos10°（sin20°cos30°-cos20°sin30°）(1/ cos20°)
=-2sin10°cos10° /sin20°
=-1