Question

已知关于x的一元二次方程x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,且a>b>c>0. （1）若方程有实数根x0，求证：b+c<x0<a,

已知关于x的一元二次方程x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=0,且a>b>c>0.
（1）若方程有实数根x0，求证：b+c<x0<a,
（2）若方程有实数根为6和9，求正整数a,b,c的值。

Answer 1

（1）若方程有实数根 x0 ，
则 x0^2-(a+b+c)x0+ab+bc+ca=0 ，
所以 x0^2-(a+b+c)x0+ab+ac= -bc<0 ，
即 [x0-(b+c)]*[x0-a]<0
解得 b+c<x0<a 。
（2）因为方程有实根 6 和 9 ，则
x^2-(a+b+c)x+ab+bc+ca=(x-6)(x-9)=x^2-15x+54 ，
即 a+b+c=15 ，ab+bc+ca=54 ，
因为 a>9 ，b+c<6 ，且 a、b、c均为正整数，
所以1）b+c=2 ，a=13 ，则由 ab+bc+ca=bc+26=54 得 bc=28 ，无解；
2）b+c=3 ，a=12 ，则由 ab+bc+ca=bc+36=54 得 bc=18 ，无解；
3）b+c=4 ，a=11 ，则由 ab+bc+ca=bc+44=54 得 bc=10 ，无解 ；
4）b+c=5 ，a=10 ，则由 ab+bc+ca=bc+50=54 得 bc=4 ，解得 b=4 ，c=1 ，
因此，正整数 a、b、c 的值分别为 10，4，1 。

Answer 2

打酱油路过