Question

若正实数X,Y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值.

Answer 1

xy的最小值为18。

根据均值不等式有：xy=2x+y+6≥2根号(
 2xy) +6，    

令xy=t^2，可得t^2-2根号 2 t-6≥0，    

注意到t＞0，    

解得t≥3 根号2 ，    

xy=t^2≥18    

故xy的最小值为18。

点评：

解决该试题的关键是首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一。可以猜想到应用基本不等式转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值。

Answer 2

由基本不等式，得 2x+y≥2√(2xy)
从而 由 2x+y+6=xy得
2√(2xy)+6≤xy (1)
令 t=√(xy)
则(1)式可化为
t² -2√2·t -6≥0
(t+√2)(t-3√2)≥0
因为 t>0，从而t-3√2≥0
即 t≥3√2
所以产xy=t²≥18
所以xy的最小值为18

Answer 3

xy为正实数,则有2x+y≥2√2xy
即:xy-6≥2√2xy
设√xy=t>0,则xy=t^2
t^2-6≥2√2 t
t^2-2√2 t-6≥0
(t-3√2)(t+√2)≥0
由于t>0,则t+√2>0
所以有:t-3√2≥0
即t≥3√2
所以,xy的最小值是:3√2 的平方＝18

Answer 4

根据均值不等式有：xy=2x+y+6≥2根号( 2xy) +6，
令xy=t^2，可得t^2-2根号 2 t-6≥0，
注意到t＞0，
解得t≥3 根号2 ，
xy=t^2≥18
故xy的最小值为18．

Answer 5

∵正实数x,y，∴xy>0
∴2x+y≥2√(2xy)
∴2x+y+6=xy≥2√(2xy)+6
即xy-2√2*√(xy)-6≥0
解不等式，得
√(xy)≥3√2 (√(xy)≤-√2舍弃)
∴xy≥(3√2)^2=18
∴xy的最小值是18