Question

求圆的方程啊

求经过点A(3,1)，并且与直线2x-y=0相切于点B(1,2)的圆的方程。
有简单方法吗？

Answer 1

求经过点A(3,1)，并且与直线2x-y=0相切于点B(1,2)的圆的方程。
解：设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²；将A、B的坐标依次代入得：
(3-a)²+(1-b)²=r²...........(1)
(1-a)²+(2-b)²=r²...........(2)
︱2a-b︱/√5=r............(3)
由(1)得 10-6a-2b+a²+b²=r²........(4)
由(2)得 5-2a-4b+a²+b²=r²..........(5)
(4)-(5)得5-4a+2b=0，即有2a-b=5/2.........(6)
将(6)代入(3)式得r=(5/2)/√5=5/(2√5)=(√5)/2
由(6)得b=2a-5/2，将r和b之值代入(5)式得：
5-2a-4(2a-5/2)+a²+(2a-5/2)²=5/4
展开化简得:5a²-20a+20=5(a²-4a+4)=5(a-2)²=0，故a=2；b=2a-5/2=4-5/2=3/2；
于是得圆的方程为(x-2)²+(y-3/2)²=5/4
方法二：由于A(3，1)，B(1，2)所在直线的斜率KAB=-1/2，与切线y=2x互相垂直，故AB是圆的
直径，即2r=︱AB︱=√(4+1)=√5，故r=(√5)/2；AB的中点(2，3/2)是圆心，于是得圆的方程为：
(x-2)²+(y-3/2)²=5/4.这是最简单的方法了！

Answer 2

设圆心为（a b） 半径为r
（x-a）2+（y-b）2=r2为园的方程
把A B两点带进去可以得出a b关系
然后写出经过圆心（a b）和B的直线方程 然后这个直线和2x-y=0垂直
这样又可以得出一个ab之间的方程
这样子就可以解除ab了 然后带个点也就可以得出r了
（X-2)(X-2)+(Y-1.5)(Y-1.5)=5/4
（x-2）^2+(y-1.5)^2=5/4

Answer 3

圆心在过点B的切线和AB的垂直平分线的交点
AB的垂直平分线:(x-3)^2+(y-1)^2=(x-1)^2+(y-2)^2
也就是4x-2y-5=0
过点B的切线:k=-0.5, ,b=2.5 y=-0.5x+2.5
联立求解得圆心x=2,,,y=1.5
所以圆方程为:
(x-2)^2+(y-1.5)^2=(1-2)^2+(2-1.5)^2 =1.25

Answer 4

由于圆相切于直线2x-y=0
所以可知过圆心的直线的斜率是-1/2
设过圆心的直线的方程为y=kx+b
将B点带入可求出b=5/2
所以过圆心的方程是x+2y=5
设圆心为（5-2a,a）
圆心到圆上任意一点的距离相等
所以，点到直线距离公式
d=根号下（5-2a-1）^2+（a-2）^2
d=根号下（5-2a-3）^2+（a-1）^2
解得a=3/2
所以圆心为（2，3/2）
解得d=√5/2，既是半径
所以圆的方程是（x-2）^2+(y-3/2)^2=5/4

Answer 5