Question

已知数列{an}中，a1=14,a2=2,且满足a(n+2)-2a(n+1)+an=0

问题：设bn=1/[n(18-an),Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大整数m,是任意n属于正整数，均有Tn>m/32
数列an已算出an=-12n+26,bn也算了，但求Tn裂项没有抵消的……

Answer 1

已知数列{an}中，a₁=14，a₂=2，且满足a‹n+2›-2a‹n+1›+a‹n›=0；
设b‹n›=1/[n(18-a‹n›)]，T‹n›=b₁+b₂+…+b‹n›，是否存在最大整数m,对任意n∈N，
均有T‹n›>m/32。
解：由a‹n+2›-2a‹n+1›+a‹n›=0，得a‹n+2›-a‹n+›=a‹n+1›-a‹n›，故{a‹n›}是等差数列。设公差为d
则d=a₂-a₁=2-14=-12；故a‹n›=14-12(n-1)=-12n+26.
于是b‹n›=1/[n(18+12n-26)]=1/[n(12n-8)]=1/[4n(3n-2)]=(1/4)[1/n(3n-2)]
故T‹n›=(1/4)[1/(1×1)+1/(2×4)+1/(3×7)+1/(4×10)+.....+1/n(3n-2)]
>(1/4)+(1/4){1/(2×4)+1/(4×6)+1/(6×8)+.......+1/[2n×(2n+2)]
=(1/4)+(1/8){(1/2-1/4)+(1/4-1/6)+(1/6-1/8)+......+[1/2n-1/(2n+2)]}
=1/4+(1/8)[1/2-1/(2n-2)]=1/4+1/8-1/[16(n-1)]=3/8-1/[16(n-1)]
故可取3/8=m/32，即m=96/8=12.

Answer 2

此时，还有一种方法就是求Tn的单调性即可。做差即可，即比较T(n+1)-Tn
进而确定Tn的最小值。

Answer 3

其实，数列通项是an=[（√2-14）n+（28-√2)]ⁿ

追问

额……数列a(n+2)-2a(n+1)+an=0，说明了是等差数列，然后就算出来了……算出来是an=-12n+26啊……