Question

已知定义在（-2,2）上的奇函数f(x)，当x∈（0,2）时，f(x)=2^x/(4^x+1) （1）求f(x)在（-2,2）上的解析式

已知定义在（-2,2）上的奇函数f(x)，当x∈（0,2）时，f(x)=2^x/(4^x+1)
（1）求f(x)在（-2,2）上的解析式
（2）判断f(x)在（0,2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，方程f(x)= λ在（-2,2）上有实数解。

Answer 1

(1)
由于是奇函数，所以f(0)=0
对于x∈(-2,0)，-x∈(0,2)
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)=-2^x/(4^x+1)

所以f(x)为分段函数
(0,2)上为2^x/(4^x+1)
0上值为0
(-2,0)上为-2^x/(4^x+1)

(2)
在(0,2)上，f(x)>0
所以可以去看f(x)的倒数上的单调性
1/f(x)=2^x+(1/2^x)=y+1/y（这里y=2^x并将1/f(x)看作复合函数)

由于y+1/y当y>1时为单调递增函数
而2^x为单调递增函数，且当x>0时，2^x>1

所以1/f(x)是两个递增函数的复合函数，也是递增函数
所以f(x)在(0,2)上是递减函数

(3)
由(2)我们知道了
f(x)在(0,2)是递减函数
所以只需要通过看端点值就可以知道它们的值域

2^x/(4^x+1)代入0后得到1/2，代入2后得到4/17
所以在(0,2)上的值域应为(4/17,1/2)
对应的(-2,0)上的值域应为(-1/2,-4/17)
再加上0点的值f(0)=0

得到λ∈(4/17,1/2)∪{0}∪{-1/2,-4/17}时
方程有实数解

追问

可我求的答案是-1/2≤λ≤1/2 啊？

追答

这个函数的中间明显是不连续的，所以不可能求得一个完整的区间

追问

哦哦 知道了 谢谢

Answer 2

解：（1）由题意，得f(x)=-f(-x)
故当-2<x<0时，0<-x<2
则此时f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)
(2)减函数。自己用函数单调性的定义证明即可。
（3）问题实质就是求f(x)在（-2,2）的值域。
f(x)=2^x/(4^x+1) =1/(2^n+1/2^n)
不难知道，当x=0时，取得最大值为1/2
当x=-2或2时，取得最小值4/17 (由(2）中证明的单调性即可）
故4/17<λ<=1/2

追问

可我求的答案是-1/2≤λ≤1/2 啊？ 我单调性这张学的很差。。。 拜托啦~~~

追答

哦，对耶，是我弄错了，根据奇函数f(-2)=-f(2)=-1/2.(我算得太快了，难免出错，别见怪，你自己算对就好！

追问

哦哦~ f(2)=4/17

追答

我又搞错了，还是你细心呀！

Answer 3

1
令x<0,则-x>0
f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=2^x/4^x+1
∵f(x)为奇函数
∴f(x)=-f(-x)=-2^x/(4^x+1)
f(0)=0
2
f(x)分子分母同除2^x(2^x必＞0)
f(x)=1/(2^x+1/2^x)
g(x)=2^x+(1/2^x)≥2*√2^x*(1/2^x)=2
当且仅当2^x=(1/2^x)即x=0时成立
g(x)在(0,2)单增
f(x)=1/g(x)在(0,2)单减
3
此题需画图
f(2)=4/17
f(-2)=-f(2)=-4/17
λ的范围
(-1/2/,-4/17),0,(4/17,1/2)

Answer 4

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追问

谢谢 我想要详细的解答 可以吗？