Question

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R) (1)若曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值

(2)求证f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
(3)若a<0，且对任意x1,x2∈（0,1]都有[f(x1)-f(x2)]≤4|1/x1-1/x2|,求实数a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)； (1)若曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为3x-y-3=0,求实数a的值；
2)求证f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；
(3)若a<0，且对任意x1,x2∈（0,1]都有[f(x1)-f(x2)]≤4|1/x1-1/x2|,求实数a的取值范围。
解：(1)。f′(x)=1-(a/x)，f′(1)=1-a=3，故a=-2；
(2). f(x)=x-1-alnx的定义域为x>0；令f′(x)=1-(a/x)=(x-a)/x=0，得极小点x=a，故由minf(x)=
=f(a)=a-1-alna=a(1-lna)-1=0，得a=1；当a=1时minf(x)=f(1)=0；当x≠1时，f(x)=x-1-lnx>0；
故f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.

(3)f(x₁)-f(x₂)=（x₁-1-alnx₁)-(x₂-1-alnx₂)=(x₁-x₂)-a(lnx₁-lnx₂)=(x₁-x₂)-aln(x₁/x₂)
而4|(1/x₁)-(1/x₂)|=4︱(x₂-x₁)/x₁x₂︱
已知a<0，且0<x₁<x₂≦1时不等式(x₁-x₂)-aln(x₁/x₂)≦4︱(x₂-x₁)/x₁x₂)︱恒成立；
由于0<x₁<x₂≦1，故可去掉绝对值符号得(x₁-x₂)-aln(x₁/x₂)≦4[(x₂-x₁)/x₁x₂]；
aln(x₁/x₂)≧(x₁-x₂)-4[(x₂-x₁)/x₁x₂]=(x₁-x₂)[1+4/(x₁x₂)]
即有a≦(x₁-x₂)[1+4/(x₁x₂)]/(lnx₁-lnx₂)=[(x₂-x₁)/(lnx₂-lnx₁)][1+4/(x₁x₂)].......(1)
(1)的右边恒>0，故当a<0时(1)式恒成立。