Question

(x^2+x-2)^4展开式中x^2项的系数是

Answer 1

-8。

(x+x-2)=(x-1)(x+2)的展开式中，出现x的有以下三种情况：

（1）(x-1)⁴中的常数项乘以(x+2)⁴的平方项，即 1·[C（4，2）·x²·2²]=24x²。

（2）(x-1)⁴中的一次项乘以(x+2)⁴的一次项，即 [C（4，3）·x·(-1)³]·[C（4，3）·x·2³=-128x²。

(3）(x-1)⁴中的平方项乘以(x+2)⁴的常数项，即 [C（4，2）·x²·(-1)²]·2⁴=96x²。

所以 x²的系数是：24-128+96=-8。

系数概念：

如abc的系数是1，次数是3。

系数的字面意思：有关系的数字。比如说代数式"3x"，它表示一个常数3与未知数x的乘积，即表示3×x，等于x+x+x。“3x”代表一个数值，这个数值只与x有关系，是什么关系呢？“3”便是说明了关系——是3个它相加的和。所以，“系数”可以解释为“有多少个未知数（相加的和）。

在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数。

不含未知数的项，称为常数项。例如：1，2，3，100等这样的数。常数的次数是0。

Answer 2

直接展开较难算。可考虑分开算。
(x²+x-2)⁴=(x-1)⁴(x+2)⁴的展开式中，出现x²的有以下三种情况：
（1）(x-1)⁴中的常数项乘以(x+2)⁴的平方项，即 1·[C（4，2）·x²·2²]=24x²;
（2）(x-1)⁴中的一次项乘以(x+2)⁴的一次项，即 [C（4，3）·x·(-1)³]·[C（4，3）·x·2³=-128x²;
(3）(x-1)⁴中的平方项乘以(x+2)⁴的常数项，即 [C（4，2）·x²·(-1)²]·2⁴=96x²
所以 x²的系数是：24-128+96=-8