Question

在三角形ABC中,a=2bcosC,且cosC=cosA,则C等于多少度，答案是45度

Answer 1

∵a=2bcosC
根据正弦定理
a=2RsinA,B=2RsinB
∴2RsinA=2*2RsinBcosC
∴sinA=sinBcosC
∴sin(B+C)=sinBcosC
sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC
∴cosBsinC=0
∵A,B,C是三角形内角
∴sinC>0
那么cosB=0 ∴B=90º
∵cosC=cosA
∴A=C=(180-90º)/2=90º/2=45º

追问

不应该是sinA=2sinBcosC？

追答

是的，丢了2
sinA=2sinBcosC
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
∴sinBcosC-cosBsinC=0
∴sin(B-C)=0
∵A,B,C是三角形内角
∴B-C=0
∴B=C
∵cosC=cosA
∴A=C
∴A=B=C
∴ΔABC为正三角形

Answer 2

∵a=2bcosC
即 a=2b*(a^2+b^2-c^2)/2ab
∴b=c 即 B=C
∵cosC=cosA
∴C=A
∴∧ABC为正三角形
∴C=60度