Question

特征值的重数和秩的关系

Answer 1

若特征值a的重数是k，则 n-r(A) <= k。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

扩展资料：

广义特征值：如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若B可逆，则原关系式可以写作 ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

参考资料来源：百度百科-特征值

Answer 2

若特征值a的重数是k，则 n-r(A) <= k。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax＝λx，可写出（λE－A）x＝0，继而写出特征多项式｜λE－A｜＝0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程（λiE－A）x＝0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

注意事项：

广义特征值：如果将特征值推广到复数领域，则广义特征值的形式为：Aν＝λBν

其中A和B是矩阵。通过求解方程(A-λB)ν=0得到广义特征值λ，行列式(A-λB)=0(其中行列式为行列式)形成矩阵集合，如A-λB。特征值中的复数名词叫做“铅笔”。

如果B是可逆的，那么原始的关系可以写成一个标准特征值问题。当B是一个不可逆矩阵（不能进行逆变换）时，广义特征值问题应按其原始形式求解。

Answer 3

应该是：若a是矩阵A的特征值，则其（代数）重数等于n-r((aE-A)^n)，几何重数（即特征子空间维数）等于n-r(aE-A)。

注1：r((aE-A)^n)表示aE-A的n次幂的秩；
注2：该结论可利用A的Jordan标准型得到。

Answer 4

若特征值a的重数是k
则 n-r(A) <= k