Question

有二重特征值怎么看秩

Answer 1

对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$，如果其存在一个特征值 $\lambda$，使得其对应的特征向量的个数小于 $n$，则称该矩阵具有二重特征值。也就是说，$\lambda$ 的代数重数和几何重数都为 $2$。

如果矩阵 $A$ 有一个 $k$ 重特征值 $\lambda_1$（$k \leq n$ ），则$\lambda_1$ 的代数重数为 $m$，其中 $m \geq k$，又有 $1 \leq m \leq n$。如果我们能求出矩阵 $A-\lambda_1E$ 的秩，则矩阵 $A$ 的秩就是 $n$ 减去矩阵 $A-\lambda_1E$ 的秩。

对于二重特征值的情况，我们可以通过计算矩阵 $A-\lambda_1E$ 的秩来确定 $A$ 的秩。如果矩阵 $A-\lambda_1E$ 的秩为 $r$，那么 $A$ 的秩为 $n-2+r$。

需要注意的是，这里的 $\lambda_1$ 就是二重特征值中重复的那个特征值。如果存在多个二重特征值，可以按照上述方法对每个特征值分别计算秩，最终将所有的秩加起来，就可以得到矩阵 $A$ 的秩。

在实际计算中，可以使用高斯消元法、LU 分解等方法，求解出矩阵 $A-\lambda_1E$ 的秩。