Question

已知函数f(x)=(4^x+k2^x+1)/(4^x+2^x+1) （1）若对任意的x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数k的取值范围

已知函数f(x)=(4^x+k2^x+1)/(4^x+2^x+1)
（1）若对任意的x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数k的取值范围
（2）若f(x)的最小值为-3，求实数k的值
（3）若对任意实数x1,x2,x3，均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边边长的三角形，求实数k的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)=(4^x+k2^x+1)/(4^x+2^x+1) )=(4^x+（k-1）2^x+2^x+1)/(4^x+2^x+1)=1+【(k-1)2^x/(4^x+2^x+1)】 =1+【(k-1)/(2^x+1+2^(-x))】>0
所以（k-1）/（2^x+1+2^(-x)）>-1；k>-(2^x+2^(-x))，且2^x+2^(-x)>=2(因为2^x>0且2^(-x)>0)，当且仅当2^x=2^(-x)是取得等号
所以k>-2
(2)f(x)=(4^x+k2^x+1)/(4^x+2^x+1) )=1+【(k-1)2^x/(4^x+2^x+1)】=1+【(k-1)/(2^x+1+2^(-x))】
k>1时，令分母(2^x+1+2^(-x))最大时，f(x)最小，但(2^x+1+2^(-x))最大为无穷，不合题意；
k<1时，令分母(2^x+1+2^(-x))最小时，f(x)最小，所以分母应为3，
可得1+【(k-1)/3】=-3
所以k=-11
（3）由题意f(x1)-f(x3)<f(x2)<f(x1)+f(x3)且f(x1),f(x2),f(x3)均大于零；
f(x1)-f(x3)的最大值为f(x)max-f(x)min；
f(x1)+f(x3)的最小值为2f(x)min；
于是得f(x)max-f(x)min<f(x)<2f(x)min；
f(x)max-f(x)min<=f(x)min；
f(x)max<=2f(x)min；
由于f(x)>0,故，f(x)min一定存在，故f(x)max一定存在；
故1+【(k-1)/(2^x+1+2^(-x))】存在最大值，故k>=1,此时f(x)max=1+(k-1)/3；
f(x)min=1(因为分母2^x+1+2^(-x)可取无穷大，故f(x)在x趋于无穷大时，趋于1)
于是，1+(k-1)/3<=2,即k<=4
又因为已经知道k>=1
所以1<=k<=4

追问

和楼上的答案不一样啊~

追答

楼上的有问题的，仔细看。其实就是一个不等式和最值得应用，不要被2^x吓坏了，其实只是一个大于0的参数，其他的根本用不上。你把2^x换成a>0，就明白多了

追问

哦哦

Answer 2

1）令t=2^x>0,
则f=(t^2+kt+1)/(t^2+t+1)=[(t+k/2)^2+1-k^2/4]/(t^2+t+1)
因为分母t^2+t+1>0+0+1=1,
故分子需恒大于0，
k>=0时显然成立
k<0时，因为t>0, 分子的最小值为当t=-k/2时取得，为1-k^2/4>0, 故有-2<k<0
综合得：k>-2
2) 同1），t^2+kt+1=ft^2+ft+f
(f-1)t^2+t(f-k)+f-1=0
delta=(f-k)^2-4(f-1)^2=(2f-k-1)(1-k)>=0,
f有最小值，则有f>=(k+1)/2, 1-k>0
故有(k+1)/2=3, 得：k=5
3)依题意，表明f(x)恒大于0，且其最大值M小于最小值m的2倍
由1）k>-2,
由2）f>=(k+1)/2
同时，(f-1)t^2+t(f-k)+f-1=0的两根积=1， 因此两根须都为正根
故两根和=-(f-k)/(f-1)>0, 得：
k>1时，1<f<k; 此时m=(k+1)/2, M=k, 得：M<2m, 符合
-2<k<1时，k<f<1; 此时m=(k+1)/2, M=1, 得：M<2m,符合
k=1时，f(x)=1, 也符合
综合得：k>-2

追问

确定是正确的么？

追答

方法如此。重要的是你得理解。

追问

好吧 谢谢

Answer 3

已知函数f(x)=（4^X+K×2^X+1）/（4^X+2^X+1）,若对于任意实数X1，X2，X3，均存在以f(x1),f(x2),f(x3)

第三问答案
f的任意3个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值h(t1),h(t2)之和会大于第三个函数 值h(t3),则只要满足2h(t)min>h(t)max即可。
1).k-1<0时，h(t)增函数，h(t)min=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)max趋近于但小于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）<0恒成立；
则，1+(k-1)/3>=1/2Lim h(t)=1/2, 得k>=-1/2;
加上前提条件k<1,则-1/2≦k<1
2).k-1=0时，h(t)=1恒成立，构成等边三角形
3).k-1>0时，h(t)减函数，则h(t)max=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)min趋近于但大于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）>0恒成立；
2h(t)min>h(t)max,即2Lim h(t)>=h(t)max,2>=1+(k-1)/3，则k<=4;
加上前提条件则1<k<=4
综上所述，-1/2≦k<=4