Question

已知函数f(x)=(x^2+kx+1)/(x^2+x+1),x大于等于0,（1）若f(x)>0恒成立,求实数k的取值

（2）若对任意非负实数a,b,c,以f(a),f(b),f(c)为三边都可构成三角形，求实数k 的取值范围

Answer 1

当x=0，f(x)=1，恒大于0
当x＞0时
f(x)=(x^2+kx+1)/(x^2+x+1)=(x^2+x+1kx-x)/(x^2+x+1)=1+(k-1)x/(x^2+x+1)=1+(k-1)/(x+1/x+1)

f(x)>0恒成立

即(k-1)/(x+1/x+1)> -1
x＞0时，x+1/x≥2，即x+1/x+1≥3
∴当k-1＞-3时，(k-1)/(x+1/x+1)> -1恒成立
即k＞-2时，f(x)>0恒成立
（2）用凹凸函数的性质，求二阶导数确定k的范围。
设f为定义在区间上的函数，若对任意两点X1，X2和任意的实数λ∈（0，1），总有
f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)＜f(x1)+f(x2) 【∵λ∈（0，1）】
设a＜b＜c
即可写成b=λa+(1-λ)c
f(b)=f(λa+(1-λ)c)≤λf(a)+(1-λ)f(c)＜f(a)+f(c)

因此只要函数为凸函数，即可保证两边之和大于第三边。
即 f''(x)>0
以此可以确定k的取值。