Question

已知，如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1:3，若AD=6cm，求AC的长

注意，是AC不是AE。

Answer 1

解：因为 在矩形ABCD中，AE垂直于BD于E，
所以 AE平方=BEXED，
因为 BE：ED=1：3，
所以 可设BE=X，则ED=3X，AE=（根号3）X，
在直角三角形ADE中，因为 AD=6cm，
所以 由勾股定理得：AE平方+ED平方=AD平方，
[（根号3）X]平方+（3X）平方=36
解得：X=根号3，
所以 BD=BE+ED=4X=4根号3，
因为 在矩形ABCD中，对角线AC=BD，
所以 AC的长为4根号3厘米。

Answer 2

设ED=3x，则BD=4x
根据射影定理AD²=DE×DB
所以3x×4x=6²，因为x为正数，所以x=√3
因为矩形对角线相等，所以AC=BD=4x=4√3

Answer 3

∵BE:ED=1:3
BE=1 ED=3
∴BD=4
∴四边形ABCD是矩形
∴BO=DO
∴BO=2=DO
∴BE=EO
∵AE⊥BO
∴AB=AO
∴AO=BO
∴AB=AO=BO
∴三角形ABO为等边三角形
∵∠BAC=60度
∴∠DAC=30度
∴∠ADB=30度
∴AE=AD/2=6/2=3

Answer 4

解：设BE=x，则ED=3x，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∵∠AEB=∠AED，
∴△ABE∽△DBA，
∴
BEAB
=
ABBD
，
∴AB2=BE×BD，
即36=x（x+3x），
解得x=3，BD=3×（1+3）=12，
故AC=BD=12．