Question

四面体ABCD，AB=CD=5，BC=AD=4，AC=BD=4，求其外接球的表面积

Answer 1

取AB中点M，取CD中点N，连接MN
CB=CA，所以CM⊥AB
DA=DB，所以DM⊥AB
AB⊥平面CDM，M为AB中点，所以平面CDM内任意一点到A,B等距离

同理
AC=AD，所以AN⊥CD
BC=BD，所以BN⊥CD
CD⊥平面ABN，N为CD中点，所以平面ABN内任意一点到C,D等距离
平面ABN∩平面CDM=MN
所以MN中点O到A,B,C,D等距离
O为四面体外接圆圆心
在△ACM中 AM=5/2 AC=4 CM=√39/2
在△CMN中 CN=5/2 CM=√39/2 MN=√14/2 OM=√14/4
在△OAM中 AM=5/2 OM=√14/4 OA=√114/4
即外接圆半径r=√114/4
S=4πr^2=57π/2

追问

当AC=BD=3时，为什么不存在

追答

图