Question

已知圆的方程为(X-1)2+Y2=4,过点(3,-3)的直线交圆的弦为AB,求中点M的轨迹方程

哪位好心人帮帮忙啊

Answer 1

设A(x1，y1)B(x2，y2)，其中点M(x0，y0)，则：x1 + x2 = 2x0，y1 + y2 = 2y0
易证P(3,-3)在圆外，假设过P的直线L斜率是存在的，设为k，根据点斜式可得L：y+3 = k(x-3)
把A、B坐标代入圆的方程：
(x1-1)²+y1²=4
(x2-1)²+y2²=4
相减、整理可得：(x1-x2)(x1+x2-2)=-(y1-y2)(y1+y2)
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2-2)] = -1
∵x1 + x2 = 2x0，y1 + y2 = 2y0，根据斜截式：k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)]
∴k·[(y0)/(x0-2)] = -1，∴k = (2-x0)/y0，代入直线方程：
y+3 = [(2-x)/y] ·(x-3)
∴x²-5x+6+y²+3y=0......T式
当k不存在，即L垂直x轴时，可算得L此时与圆相切，∴不可能有A、B两个交点
∴化简T式可得弦AB的中点M的轨迹方程：
[x - (5/2)]²+ [y+(3/2)]² = 10/4 ，这是圆

追问

还有另外的解法吗？

追答

这个是常规解法
上面的方法没问题 不过中间有一点算错了
下面再给出一个解法 相对简单一点的 供你参考吧
同上 可知 过点P(3,-3)且与圆相交的直线的斜率必定存在且不为0
设此直线L方程为：y+3 = k(x-3) ①
∵圆心C(1,0)与M连线垂直于直线L

∴CM所在直线方程为：y-0=(-1/k)(x-1) 即：y=(1-x)/k

整理得：k=(1-x)/y 代入①式得：
y+3=(1-x)(x-3)/y
整理得：x²+y²-4x+3y+3=0
即：点M的轨迹方程为：(x-2)²+(y+3/2)²=4

Answer 2

设过点(3,-3)的直线为y+3=k（x-3）.....①，
圆(X-1)2+Y2=4的圆心N（1,0），点M（x，y）
因MN垂直 过点(3,-3)的直线y+3=k（x-3），故直线MN斜率 -1/k ，
直线MN方程：y= -1/k（x-1）......②.，
由① ②得：(x-2)²+(y+3/2)²=13/4
因直线y+3=k（x-3）与圆(X-1)2+Y2=4的切点分别为（3,0）和（-3/13，-24/13）
故：中点M的轨迹方程：(x-2)²+(y+3/2)²=13/4
且满足x≤3且y≥-24/13
即：是方程(x-2)²+(y+3/2)²=13/4 上满足x≤3且y≥-24/13 的一段弧。

说明：直线y+3=k（x-3）与圆(X-1)2+Y2=4的切点 就是(x-2)²+(y+3/2)²=13/4 和(X-1)2+Y2=4的
两个交点，解方程组可得。
祝你学习进步！ (*^__^*)

Answer 3

设中点M的坐标（x，y）点A（x1，y1）点B（x2，y2）
点AB都在圆上
（x1-1）^2 y1^2=4
（x2-1）^2 y2^2=4
两式相减 平方差公式
（x1-1 x2-1）*（x1-1-x2 1） （y1-y2）*（y1 y2）=0
2*x=x1 x2
2*y=y1 y2
移项将（x1-x2）[不等于0]除过去
代换（2x-2）\（2y）=-k
再利用中点和（3，-3）的联立直线方程斜率和上面一个k相同，消去k
答案是x^2-4x y^2 2y 3=0
最后写好在已知圆内部就好了！
满意给悬赏嗷

Answer 4

先设直线（点斜式）斜率为K，与圆的方程联立，把中点坐标用K表示（要用到韦达定理），得到关于K的参数方程，然后再把K消掉。

Answer 5

设过点(3,-3)的直线为y=kx+b
那么中点为((3k^2+3k+1)/(k^2+1),((-2k-3)/(k^2+1)))
知道中点了你轨迹方程接下来就自己求了 有急事需要离开
等下可以追问
关键用韦达定理