Question

Xn以A为极限，如何证明（X1+X2+....+Xn)/n以A为极限，在线等

Answer 1

题中的Xn包括了X1、X2......Xn,Xn+1,Xn+2。

用定义证明

分析:因为 xn的极限为a 所以 对于任给的ε 

总存在 N1>0,使得 n>N1时 | Xn-a| < ε /2

现设X1+X2+X3+….+XN1 - N1a =A ( 常数)

而 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a |

= |A/n +{ ( X(N1+1) + …. + xn) - (n-N1) a } / n |

<= |A/n | +| [X(N1+1) - a] / n| + …. + +| [Xn - a] / n |

<= |A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) |

故 要使|(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | < ε

可使|A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) | < ε

可解得n>2A/ε-N1, 所以

对于任给的ε ，总存在N=max{N1,2A/ε-N1}

使得n>N时 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | <ε

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

题中的Xn包括了X1、X2......Xn,Xn+1,Xn+2..........。Xn以A为极限指X1、X2.....、Xn、Xn+1、Xn+2..........都以A为极限，即limX1=limX2=limX3=........limXn=limXn+1=limXn+2=.....=A
所以lim（X1+X2+....+Xn)/n=(limX1+limX2+....+limXn)/n=(nlimXn)/n=(nA)/n=A

Answer 3

用定义证明
分析:因为 xn的极限为a 所以 对于任给的ε ，
总存在 N1>0,使得 n>N1时 | Xn-a| < ε /2
现设X1+X2+X3+….+XN1 - N1a =A ( 常数)
而 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a |
= |A/n +{ ( X(N1+1) + …. + xn) - (n-N1) a } / n |
<= |A/n | +| [X(N1+1) - a] / n| + …. + +| [Xn - a] / n |
<= |A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) |
故 要使|(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | < ε
可使|A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) | < ε
可解得n>2A/ε-N1, 所以
对于任给的ε ，总存在N=max{N1,2A/ε-N1}
使得n>N时 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | <ε