Question

∫(x^3 +1)/(x^2+1)^2 dx不定积分第二换元法

怎么得出的，我三角公式算得似乎不对，算出来应该是
(sin^2 t * sint)/cost + cos^2t，cos^2t可以用三角公式算出，但是,sin^2 t d(cost)怎么会=(cost)^2-1?

在
怎么等于 ？
1/2arctanx怎么来的？





Answer 1

1、(tan³t+1)/sec²t 分子分母同乘以cos³t
=(sin³t+cos³t)/cost
=sin³t/cost+cos²t
=(1-cos²t)sint/cost+(1/2)(1+cos2t)
因此：∫ (tan³t+1)/sec²t dt=∫ (1-cos²t)sint/cost dt + (1/2)∫ (1+cos2t) dt
=-∫ (1-cos²t)/cost d(cost) + (1/2)∫ (1+cos2t) dt
2、最后结果：
(1/2)cos²t-lncost+t/2+(1/2)sintcost+C
其中：cos²t=1/(1+x²)
-lncost=-ln(1/√(1+x²))=ln(√(1+x²))=(1/2)ln(1+x²)
t/2=arctanx/2 (因为：tant=x)
(1/2)sintcost=(1/2)(x/√(1+x²))(1/√(1+x²))=(1/2)(x/(1+x²))
代入后即可得最后结果。

Answer 2

你好好算算。
是sint^3/cost dt=(cost^2-1)/cost dcost，简单算一下是相等的。
第二个将cost 和 sint带入即可啊。
最后一个套公式。