Question

求点M(2,4)关于直线2x-y+1=0的对称点的坐标。

Answer 1

设M（2，4）关于直线2x－y＋1＝0的对称亮漏轮点为N（a，b）。
令MN与直线2x－y＋1＝0相交于A（c，d），则A是MN的中点，由中点坐标公式，得：
c＝（2＋a）/2、b＝（4＋b）/2。
∵A在直线2x－y＋1＝0上，∴2［（2＋a）/2］－（4＋b）/2＋1＝0，
∴2＋a－2－b/2＋1＝0，∴a＝b/2－1。······①

显然，MN与直线2x－y＋1＝0垂直，而直线2x－y＋1＝0的斜率为2，∴MN的斜率为－1/2，
∴（4－b）/（2－a）＝－1/敬信2，∴8－2b＝a－2，∴搜唯a＝10－2b。······②
由①、②，得：b/2－1＝10－2b，∴b－2＝20－4b，∴5b＝22，∴b＝22/5，
∴a＝b/2－1＝11/5－1＝6/5。
∴M（2，4）关于直线2x－y＋1＝0的对称点的坐标是（6/5，11/5）。

Answer 2

因为l:2x-y+1=0,
所以y=2x+1,
所首基以斜率是k=2,
所以与直线l垂直的直线l'的斜率是-1/2,
所以设直线l'为y=-x/2+b,
因为点P(-4,2)在直线l'上,
所以有2+b=2,
所以b=0,
所以直线l':y=-x/2,
令2x+1=-x/2,
所以x=-2/5,y=1/5,
所以直线l与直线l'的交点为(-2/5,1/5),
因为点P与点P'关于直线l对称,
所以点P与点P'关于两直线的交点对称,
即两直线的正芹含交点是线段PP'的中点,
所以设点P'举笑的坐标为P'(m,n),则有
(-4+m)/2=-2/5,(2+n)/2=1/5,
所以m=16/5,n=-8/5,
所以点P'(16/5,-8/5).