Question

函数在区间上有解的简答题一道

已知函数f (x)=a*4^x-2^(x+1)+a+3 若存在实数x大于等于-1小于等于1，使f（x）=4，求a的范围请写出过程，谢谢！
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已知函数f (x)=a*4^x-2^(x+1)+a+3
若存在实数x大于等于-1小于等于1，使f（x）=4，求a的范围
请写出过程，谢谢！

Answer 1

令t=2^x,
因为，-1≤x≤1
所以，1/2≤t≤2
y=at^2-2t+a+3=4
a(t^2+1)=1+2t

a=(1+2t)/(t^2+1)

1/a=(t^2+1)/(2t+1)

令t^2+1=p(2t+1)^2+q(2t+1)+r=(4p)t^2+(4p+2q)t+(p+q+r)
比较系数得：
{1=4p
{0=4p+2q
{1=p+q+r
==>
{p=1/4
{q= - 1/2
{r=5/4

1/a=(1/4)(2t+1)+5/4(2t+1)-1/2

4/a=(2t+1)+5/(2t+1)-2

再令：
u=2t+1,则：2≤u≤5
4/a=u+5/u-2 u∈[2,5]
g(u)=u+5/u-2
g '(u)=1-5/u^2=(u^2-5)/u^2
当2≤u≤√5 ,g '(u)<0,函数单调减，
当√5≤u≤5时，g ' (u)>0,函数单调增，
所以，g(u)在【2，5】上先减后增，最小值为：2√5-2
最大值是两个端点中的一个，g(2)=5/2,g(5)=4
所以2√5-2≤g(u)≤4
即：
(2√5-2)≤4/a≤4
因为a=(1+2t)/(t^2+1)>0
1≤a≤(√5+1)/2,

Answer 2

令t=2^x, 则当-1=<x<=1时，1/2=<t<=2
f(x)=at^2-2t+a+3=4
at^2-2t+a-1=0
得：a=(2t+1)/(t^2+1)
a'=-2(t^2+t-1)/(t^2+1)^2=0, 在区间[1/2,2]上，得极值点t0=(-1+√5)/2
当t<t0时，a'>0, a单调增；当a>t0时，a'<0, a单调减
最大值为a(t0)=(√5+1)/2
端点值a(1/2)=8/5,a(2)=1
因此a的范围是[1, (√5+1)/2]

追问

谢谢你的回答
a'=-2(t^2+t-1)/(t^2+1)^2=0,不明白
这是用了什么知识，我之前没有看过
能再解释吗？多谢！

追答

哦，这是求导数。
如果没学到的话那得用别的方法来求出这个式子的最大值。

追问

能再教教我吗？
我尝试用图象的方法去列方程，然后解，但是情况太多了
有什么好方法呢？

追答

还可以这样求最大值，需用到三角函数：
令t=tanu ， arctan(1/2)=<u<=arctan2
则a=(2tanu+1)(cosu)^2=2sinucosu+(cosu)^2=sin2u+(1+cos2u)/2=sin2u+0.5cos2u+0.5
=√(1+0.5^2) sin(2u+p)+0.5 , p=arctan0.5
这样最大值为√(1+0.5^2)+0.5=(√5+1)/2

Answer 3

令2^x=m则原方程为g(m)=a*m^2-2m+a+3,这样就变成了二元一次方程了。现在先求m的取值范围，为[1/2,2]，题目转化为一个关于m的二次方程的问题了。即存在1/2<=m<=2，使得g(m)4，即a*m^2-2m+a-1=0,由此推出a=(2m+1)/(m^2+1)(注意，这是最关键也是最难的一步，叫做分离变量，高中学生要熟练运用)，所以就变成了已知m的范围，求a的范围了。因为关m的函数是单调递减函数，所以amax=8/5,amin=1,所以，a的范围是[1,8/5]。
这种题方法很多，最好的方法就是分离变量，简单易懂，出错率会下降。

追问

谢谢你的回答
但是m的函数是单调递增函数，
a=(2m+1)/(m^2+1)增减性不确定，怎样得到amax=8/5,amin=1
能再解释吗？多谢

追答

单调性可以通过求导，导数小于0，应该学过吧

追问

没有，直接解m=(2-at)/(a-1)大于等于0.5，小于等于2 可以吗？
但是没有办法
不知用图象解会怎么样？能告诉我吗

追答

可以直接这样做，计算量会加大的。用图像可以只不过在这里说太麻烦了，要讨论很多东西

Answer 4

f (x)=a*4^x-2^(x+1)+a+3存在实数x大于等于-1小于等于1，使f（x）=4
变为：g(x)=a*4^x-2^(x+1)+a+3-4=a(2^x)^2-2*(2^x)+a-1 在[-1，1]有实根，
把（2^x)当作变量，恰为二次三项式，利用一元二次方程求根公式求解，
再求出为使根(2^x)位于[1/2,2]中，a的范围。