Question

已知直线L1:mx+8y+n=0与直线L2:2x+my-1=0,l1∥l2,两平行直线间距离为根号5，而过点A（m，n）（m>0,n>0)

已知直线L1:mx+8y+n=0与直线L2:2x+my-1=0,l1∥l2,两平行直线间距离为根号5，而过点A（m，n）（m>0,n>0)的直线l被l1、l2截得的线段长为根号10，求线段l的方程

Answer 1

直线L1:mx+8y+n=0与直线L2:2x+my-1=0,l1∥l2,两平行直线间距离为根号5，而过点A（m，n）（m>0,n>0)
可得:2/m=m/8 m=4 or m=-4 又m>0 所以:m=4
L2:2x+4y-1=0 L1 : 4x+8y+n=0
在直线2x+4y-1=0 上取一点(1/2,0) 它到L1的距离为根号5.
点(a,b)到直线AX+By+C=0的距离公式:
|Aa+Bb+C|/根号(A^2+B^2) 请记住,有用.
于是:(1/2,0) 到L1:4x+8y+n=0的距离为根号5
|4*1/2+8*0+n|/根号(4^2+8^2)=根号5
|2+n|=20 n=18 or n=-22 由于n>0 所以:n=18
L1: 2x+8y+18=0 即:x+4y+9=0
设过点A(m,n)即:A(4,18)的直线参数方程为:
x=4+tcosa
y=18+tsina 其中,t表示直线上一点(x,y)到点(4,18)的距离(有正负).
于是将以上式子分别代入L1: 2x+4+9=0 ; L2:2x+4y-1=0
得各自交点到A的距离分别为:
2(4+tcosa)+4(18+tsina)+9=0 t1=-89/(2cosa+4sina)
2(4+tcosa)+4(18+tsina)-1=0 t2=-79/(2cosa+4sina)
t2-t1=根号10 (为什么是t2-t1,请画图,就一目了然了)
所以:[-79+89)/(2cosa+4sina)=根号10
2cosa+4sina=根号10
同除以cosa
2+4tana=根号10*seca
平方:
4+16tana+16tan^2a=10(1+tan^2a)
6tan^2a+16tana-6=0
3tan^2a+8tana-3=0
tana=1/3 or tana=-3
即直线l的斜率:K=1/3 or K=-3,过点(4,18)
得直线方程:y-18=1/3(x-4) or y-18=-3(x-4)

Answer 2

∵L1//L2，∴m*m=8*2=16，又∵m>0，∴m=4，
故L1:4x+8y+n=0，L2:2x+4y-1=0，即4x+8y-2=0，
由题意，两平行直线间距离|n-(-2)|/√(4²+8²)=|n+2|/4√5=√5，即|n+2|=20，
∵n>0，∴n=18，故A(4，18)。
设直线l的斜率为k，它与两平行线的夹角为θ，
∵两平行直线间距离√5，直线l被两平行线所截线段长为√10，
∴sinθ=√5/√10=√2/2，故θ=45°
∵L1(或L2)的斜率为-1/2，∴tan45°=|[k-(-1/2)]/[1+k(-1/2)]|=1，
即|(k+1/2)/(1-k/2)|=1，解得k=1/3或-3，
故直线l的方程是y-18=(1/3)(x-4)或y-18=-3(x-4)，
即x-3y+50=0或3x+y-30=0。