用极坐标替换计算二重积分∫∫sin√x^2+y^2 dxdy,D:π^2≤x^2+y^2≤4π^2

∫∫sin√x^2+y^2dxdy,D:π^2≤x^2+y^2≤4π^2我也打不出来了,解释下,∫∫符号下是D,x^2+y^2是在根号下... ∫∫sin√x^2+y^2 dxdy,D:π^2≤x^2+y^2≤4π^2我也打不出来了,解释下,∫∫符号下是D,x^2+y^2是在根号下 展开
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一个人郭芮
高粉答主

2012-08-28 · GR专注于各种数学解题
一个人郭芮
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使用极坐标来计算
令x=rcosθ,y=rsinθ,
x^2+y^2=r^2
则sin√x^2+y^2= sinr,
而π^2≤x^2+y^2≤4π^2,即π^2≤r^2≤4π^2,
所以r的范围是[π,2π]

故原积分
= ∫∫ sinr * r dr dθ
= ∫(上限2π,下限0) dθ * ∫(上限2π,下限π) sinr * r dr
显然 ∫(上限2π,下限0) dθ=2π,

∫ sinr * r dr 使用分部积分法
=∫ -r d(cosr)
= -cosr * r + ∫ cosr dr
= -cosr * r + sinr +C (C为常数)
代入上限2π,下限π,
所以
∫(上限2π,下限π) sinr * r dr
= -cos2π *2π +sin2π + cosπ *π -sinπ
= -3π
茹翊神谕者

2021-06-29 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
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简单计算一下即可,答案如图所示

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