Question

数列极限和函数极限的关系?

有一道题问的是limx－﹥＋∞f（x）/ x是多少？而我证明了lim n－﹥＋∞ f（nπ)/nπ的值为（2π/4）。其中n为自然数，那么请问这是否可以证得limx－﹥＋∞f（x）/ x也是（2π/4）？恳请数学达人解惑，不胜感谢！

Answer 1

不可以的，可以把lim n→+∞理解为lim x→+∞的一个子列，lim n→+∞存在不能说明lim x→+∞也存在。

反例：设f(x)=xsinx
则 lim(n→+∞) f(nπ)/nπ
=lim(n→+∞) nπsin(nπ)/nπ
=lim(n→+∞) sin(nπ)
=0
lim(x→+∞) f(x)/x
=lim(x→+∞) xsinx/x

=lim(x→+∞) sinx
极限显然不存在。

Answer 2

不行
首先函数必须是连续的才能求极限，所以不能存在n，n是不连续的

追问

该函数是连续的，另外，能再说的清楚一些吗？谢谢

追答

不管函数连不连续，首先你的定义域就不是连续的，那函数肯定不是连续的
n是自然数，是一个一个取的，不是连续取的

Answer 3

这个不是定义是定理，书上不是有证明嘛，把函数极限与数列极限的定义结合起来了，事实上就是函数极限的“子列性质”