Question

设点P在曲线y=1/2(e^x)上，点Q在曲线y=ln（2x）上则PQ长度的最小值为？

问一下，你倒数第三行什么意识？为啥要除？还有连等之后等于0，那么从后往前看α|po|^2=o,|po|肯定不为0那么α=0 这样分母也为0，

Answer 1

两条曲线互为反函数，是关于直线y=x对称的，点（x,e^x/2）到直线y=x的距离S=PQ/2
由点到直线的距离公式得到S=|x-e^x/2|/√2
令dS/dx=|1-e^x/2|√2=0得x=ln2,这是S有最小值Smin的点
Smin=|ln2-1|/√2
最小的PQ=2Smin=(1-ln2)√2

附：点（Xo,Yo）到直线Ax+By+C=0的距离公式
D=|AXo+BYo+C|/√(A^2+B^2)

追问

我会这么算······我好奇他这个倒数第三步

追答

前面的|po|是曲线上的点到y=x的距离的一般表达式，这个求偏导的步骤就是令(po)^2对xp的偏导=0,找出使(po)^2取得极值的xp，求偏导是因为|po|^2是xp和x两个变量的二元函数，其实可以把|po|^2写成|po|^2=2(xp-x)^2=xp-e^(xp)/2,这样|po|^2是xp的一元函数，解d|po|^2/dxp=0即可求得xp=ln2