Question

关于微积分的问题

设无盖圆柱容器半径为r高为h若容器体积为1000，问r?h?时，容器表面积最小？h？r？时表面积最小？

Answer 1

解：已知πr²h=1000，即h=1000/πr²，表面积A=2πr²+2πrh=2πr²+2πr*（1000/πr²）=2πr²+2*1000/r，r∈（0，+∞）。A’=4πr-2*1000/r²，A''=4π+4*1000/r的三次方。
令A’=0，得r=（1000/2π）的三次根。由A''｜r=（1000/2π）的三次根=4π+8π=12π>0，知r=（1000/2π）的三次根为极小值点,又驻点唯一，故极小值点就是最小值点。此时h=1000/πr²=2*（1000/2π）的三次根=2r，所以当r=（1000/2π）的三次根=（500/π）的三次根和h=2*（1000/2π）的三次根=2*（500/π）的三次根时，表面积最小。
答;r=（500/π）的三次根，h=2*（500/π）的三次根。
（在这里我用*号表示乘号）

追问

错

Answer 2

用均值不等式求 可以吗？
可以的话 我写给你，，回复一下

追问

可以。我看看

Answer 3

因为V=πr^2h=1000，
所以h=1000/(πr^2)，
因为S表=πr^2+2πrh
=πr^2+2πr*1000/(πr^2)
=πr^2+2000/r
=πr^2+1000/r+1000/r，
所以容器表面积最小值为300*3次根号π，
此时r=10/3次根号π，h=10/3次根号π。

追问

错